Департамент образования и науки Тюменской области
Департамент образования Администрации города Тюмени
МАОУ СОШ № 48 города Тюмени

УТВЕРЖДЕНО
приказом директора МАОУ СОШ №48
города Тюмени
от «28» января 2026 г. № 42

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИКИ (УГЛУБЛЁННЫЙ УРОВЕНЬ)
СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ (10-11 класс)

Срок освоения – 2 года

г. Тюмень, 2026

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Рабочая программа по вероятности и статистики для 10-11 классов является
составной частью основной образовательной программы среднего общего образования
(ООП СОО) МАОУ СОШ № 48 города Тюмени и составлена на основе:
1. Федеральным законом «Об образовании в Российской Федерации» №273-ФЗ от
29.12.2012 (в действующей редакции)
2. Федеральным государственным образовательным стандартом начального
общего образования, утвержденным приказом Минпросвещения России от 31.05.2021
№ 286 (в действующей редакции).
3. Федеральным государственным образовательным стандартом основного общего
образования, утвержденным приказом Минпросвещения России от 31.05.2021 № 287 (в
действующей редакции).
4. Приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 12.08.2022 №
732 «О внесении изменений в федеральный государственный образовательный
стандарт среднего общего образования, утвержденный приказом Министерства
образования и науки Российской Федерации от 17 мая 2012г. №413».
5. Приказом Минпросвещения России от 18.05.2023г. № 370 «Об утверждении
федеральной образовательной программы основного общего образования».
6. Приказом Минпросвещения России от 18.05.2023г. № 371 «Об утверждении
федеральной образовательной программы среднего общего образования».
7. Приказом Минпросвещения России от 18.05.2023г. № 372 «Об утверждении
федеральной образовательной программы начального общего образования».
8. Приказом Министерства просвещения РФ «Порядок организации и
осуществления образовательной деятельности по основным общеобразовательным
программам - образовательным программам начального общего, основного общего и
среднего общего образования, утвержденный приказом Министерства образования и
науки Российской Федерации от 22.03.2021 г. № 115» (в действующей редакции);
9. Приказом Минпросвещения России от 09.10.2024 № 704 «О внесении изменений
в некоторые приказы Министерства просвещения Российской Федерации, касающиеся
федеральных образовательных программ начального общего образования, основного
общего образования и среднего общего образования»;
10. Приказом Минросвещения России от 08.10.2025 № 729 «О внесении изменений
в некоторые приказы Министерства просвещения Российской Федерации, касающиеся
федеральных образовательных программ начального общего образования, основного
общего образования и среднего общего образования».
11. Уставом Муниципального автономного образовательного учреждения средней
общеобразовательной школы №48 города Тюмени имени Героя Советского Союза
Дмитрия Михайловича Карбышева (далее МАОУ СОШ №48 города Тюмени).
11. Концепции развития математического образования в РФ (Распоряжение
Правительства РФ от 24.12.2013 № 2506-р
12. Программы воспитания МАОУ СОШ №48 города Тюмени;
13. Учебного плана МАОУ СОШ №48 города Тюмени, утвержденного приказом
МАОУ СОШ № 48 города Тюмени (действующая редакция);
14. Положения о рабочих программах по учебному предмету педагогов,
утвержденного приказом МАОУ СОШ №48 города Тюмени (действующая редакция);
15. Федеральной рабочей программы среднего общего образования «Математика»
(углубленный уровень) для 10-11-х классов, 2025 г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТИ И
СТАТИСТИКИ»
Учебный курс «Вероятность и статистика» углублѐнного уровня является
продолжением и развитием одноименного учебного курса углублѐнного уровня на уровне
среднего общего образования. Учебный курс предназначен для формирования у
обучающихся статистической культуры и понимания роли теории вероятностей как
математического инструмента для изучения случайных событий, величин и процессов.
При изучении курса обогащаются представления обучающихся о методах исследования
изменчивого мира, развивается понимание значимости и общности математических
методов познания как неотъемлемой части современного естественно-научного
мировоззрения.
Содержание учебного курса направлено на закрепление знаний, полученных при
изучении курса на уровне основного общего образования, и на развитие представлений о
случайных величинах и взаимосвязях между ними на важных примерах, сюжеты которых
почерпнуты из окружающего мира. В результате у обучающихся должно сформироваться
представление о наиболее употребительных и общих математических моделях,
используемых для описания антропометрических и демографических величин,
погрешностей в различные рода измерениях, длительности безотказной работы
технических устройств, характеристик массовых явлений и процессов в обществе.
Учебный курс является базой для освоения вероятностно-статистических методов,
необходимых специалистам не только инженерных специальностей, но также социальных
и психологических, поскольку современные общественные науки в значительной мере
используют аппарат анализа больших данных. Центральную часть учебного курса
занимает обсуждение закона больших чисел – фундаментального закона природы,
имеющего математическую формализацию.
В соответствии с указанными целями в структуре учебного курса «Вероятность и
статистика» на углублѐнном уровне выделены основные содержательные линии:
«Случайные события и вероятности» и «Случайные величины и закон больших чисел».
Помимо основных линий в учебный курс включены элементы теории графов и
теории множеств, необходимые для полноценного освоения материала данного учебного
курса и смежных математических учебных курсов.
Содержание линии «Случайные события и вероятности» служит основой для
формирования представлений о распределении вероятностей между значениями
случайных величин. Важную часть в этой содержательной линии занимает изучение
геометрического и биномиального распределений и знакомство с их непрерывными
аналогами – показательным и нормальным распределениями.
Темы, связанные с непрерывными случайными величинами и распределениями,
акцентируют внимание обучающихся на описании и изучении случайных явлений с
помощью непрерывных функций. Основное внимание уделяется показательному и
нормальному распределениям.
учебном курсе предусматривается ознакомительное изучение связи между
случайными величинами и описание этой связи с помощью коэффициента корреляции и
его выборочного аналога. Эти элементы содержания развивают тему «Диаграммы
рассеивания», изученную на уровне основного общего образования, и во многом
опираются на сведения из курсов алгебры и геометрии.
Ещѐ один элемент содержания, который предлагается на ознакомительном уровне
– последовательность случайных независимых событий, наступающих в единицу времени.
Ознакомление с распределением вероятностей количества таких событий носит
развивающий характер и является актуальным для будущих абитуриентов, поступающих

на учебные специальности, связанные
управлением.

с общественными науками, психологией и

ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
Приоритетными целями обучения вероятности и статистики в 10–11 классах на
углублѐнном уровне продолжают оставаться:
формирование центральных математических понятий (число, величина,
геометрическая фигура, переменная, вероятность, функция, производная, интеграл),
обеспечивающих преемственность и перспективность математического образования
обучающихся;
подведение обучающихся на доступном для них уровне к осознанию взаимосвязи
математики и окружающего мира, пониманию математики как части общей культуры
человечества;
развитие интеллектуальных и творческих способностей обучающихся,
познавательной активности, исследовательских умений, критичности мышления, интереса
к изучению математики;
формирование
функциональной
математической
грамотности:
умения
распознавать математические аспекты в реальных жизненных ситуациях и при изучении
других учебных предметов, проявления зависимостей и закономерностей, формулировать
их на языке математики и создавать математические модели, применять освоенный
математический
аппарат
для
решения
практико-ориентированных
задач,
интерпретировать и оценивать полученные результаты.
МЕСТО УЧЕБНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
Общее число часов, рекомендованных для изучения учебного курса «Вероятность и
статистика» на углубленном уровне – 68 часов: в 10 классе – 34 часа (1 час в неделю), в 11
классе – 34 часа (1 час в неделю)
Из них 20 часов за 3 года обучения выделено на проведение оценочных процедур, что
не превышает 10% от всего объема учебного времени (письмо Минпросвещения
России № СК- 228/03 и Рособрнадзора № 01.169/08-01 от 06.08.2021): на
проведение контрольных работ в 10классе – 2 часа, в 11 классе – 1 час.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА
10 КЛАСС
Граф, связный граф, пути в графе: циклы и цепи. Степень (валентность) вершины.
Графы на плоскости. Деревья.
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные события
(исходы). Вероятность случайного события. Близость частоты и вероятности событий.
Случайные опыты с равновозможными элементарными событиями.
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события.
Диаграммы Эйлера. Формула сложения вероятностей.
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного эксперимента.
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимые события.
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые испытания.
Серия независимых испытаний до первого успеха. Перестановки и факториал. Число
сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона.

Серия независимых испытаний Бернулли. Случайный выбор из конечной
совокупности.
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения.
Операции над случайными величинами. Бинарная случайная величина. Примеры
распределений, в том числе геометрическое и биномиальное.
11 КЛАСС
Совместное распределение двух случайных величин. Независимые случайные
величины.
Математическое ожидание случайной величины (распределения). Примеры
применения математического ожидания (страхование, лотерея). Математическое
ожидание бинарной случайной величины. Математическое ожидание суммы случайных
величин. Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений.
Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины (распределения).
Дисперсия бинарной случайной величины. Математическое ожидание произведения и
дисперсия суммы независимых случайных величин. Дисперсия и стандартное отклонение
биномиального распределения. Дисперсия и стандартное отклонение геометрического
распределения.
Неравенство Чебышѐва. Теорема Чебышѐва. Теорема Бернулли. Закон больших
чисел. Выборочный метод исследований. Выборочные характеристики. Оценивание
вероятности события по выборочным данным. Проверка простейших гипотез с помощью
изученных распределений.
Непрерывные случайные величины. Примеры. Функция плотности вероятности
распределения. Равномерное распределение и его свойства. Задачи, приводящие к
показательному распределению. Задачи, приводящие к нормальному распределению.
Функция плотности вероятности показательного распределения, функция плотности
вероятности нормального распределения. Функция плотности и свойства нормального
распределения.
Последовательность одиночных независимых событий. Задачи, приводящие к
распределению Пуассона.
Ковариация двух случайных величин. Коэффициент линейной корреляции.
Совместные наблюдения двух величин. Выборочный коэффициент корреляции. Различие
между линейной связью и причинно-следственной связью. Линейная регрессия, метод
наименьших квадратов.

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Планируемые результаты освоения программы по математике включают
личностные, метапредметные результаты за весь период обучения на уровне среднего
общего образования, а также предметные достижения обучающегося за каждый год
обучения.
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В результате изучения математики на уровне среднего общего образования у
обучающегося будут сформированы следующие личностные результаты:
Гражданское воспитание:
сформированность гражданской позиции обучающегося как активного
и
ответственного члена российского общества, представление о математических основах
функционирования различных структур, явлений, процедур гражданского общества
(выборы, опросы и другое), умение взаимодействовать с социальными институтами в
соответствии с их функциями и назначением;
Патриотическое воспитание:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к прошлому и
настоящему российской математики, ценностное отношение к достижениям российских
математиков и российской математической школы, использование этих достижений в
других науках, технологиях, сферах экономики;
Духовно-нравственного воспитания:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность
нравственного сознания, этического поведения, связанного с практическим применением
достижений науки и деятельностью учѐного, осознание личного вклада в построение
устойчивого будущего;
Эстетическое воспитание:
эстетическое
отношение
к
миру,
включая
эстетику математических
закономерностей, объектов, задач, решений, рассуждений, восприимчивость
к
математическим аспектам различных видов искусства;
Физическое воспитание:
сформированность умения применять математические знания в интересах здорового
и безопасного образа жизни, ответственное отношение к своему здоровью (здоровое
питание, сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая активность),
физическое совершенствование при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью;
Трудовое воспитание:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к различным сферам
профессиональной деятельности, связанным с математикой и еѐ приложениями, умение
совершать осознанный выбор будущей профессии
и реализовывать собственные
жизненные планы, готовность и способность к математическому образованию и
самообразованию на протяжении всей жизни, готовность к активному участию в решении
практических задач математической направленности;
Экологическое воспитание:
сформированность экологической культуры, понимание влияния социальноэкономических процессов на состояние природной и социальной среды, осознание
глобального характера экологических проблем, ориентация на применение
математических знаний для решения задач в области окружающей среды, планирование
поступков и оценки их возможных последствий для окружающей среды;

Ценности научного познания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню
развития науки и общественной практики, понимание математической науки как сферы
человеческой деятельности, этапов еѐ развития и значимости для развития цивилизации,
овладение языком математики и математической культурой как средством познания
мира, готовность осуществлять проектную
и исследовательскую деятельность
индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В результате изучения математики на уровне среднего общего образования у
обучающегося будут сформированы познавательные универсальные учебные действия,
коммуникативные универсальные учебные действия, регулятивные универсальные
учебные действия, совместная деятельность.
У обучающегося будут сформированы следующие базовые логические действия
как часть познавательных универсальных учебных действий:
 выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов,
понятий, отношений между понятиями, формулировать определения понятий,
устанавливать существенный признак классификации, основания для обобщения и
сравнения, критерии проводимого анализа;
 воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и
отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
 выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах,
данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии
для выявления
закономерностей и противоречий;
 делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных
умозаключений, умозаключений по аналогии;
 проводить самостоятельно доказательства математических утверждений (прямые и
от противного), выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры,
обосновывать собственные суждения и выводы;
 выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов
решения, выбирать наиболее подходящий с учѐтом самостоятельно выделенных
критериев).
У обучающегося будут сформированы следующие базовые исследовательские
действия как часть познавательных универсальных учебных действий:
 использовать
вопросы
как
исследовательский
инструмент
познания,
формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему, устанавливать искомое
и данное, формировать гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
 проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование
по
установлению особенностей математического объекта, явления, процесса, выявлению
зависимостей между объектами, явлениями, процессами;
 самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведѐнного
наблюдения, исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и
обобщений;
 прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о
его развитии в новых условиях.
У обучающегося будут сформированы умения работать с информацией как часть
познавательных универсальных учебных действий:
 выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на вопрос и для
решения задачи;

 выбирать информацию из источников различных типов, анализировать,
систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм
представления;
 структурировать информацию, представлять еѐ в различных формах,
иллюстрировать графически;
 оценивать надѐжность информации по самостоятельно сформулированным
критериям.
У обучающегося будут сформированы умения общения как часть
коммуникативных универсальных учебных действий:
 воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями
общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных
текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный
результат;
 в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы,
решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения, сопоставлять свои
суждения с суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство
позиций, в корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
 представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта,
самостоятельно выбирать формат выступления с учѐтом задач презентации и
особенностей аудитории.
У обучающегося будут сформированы умения самоорганизации как часть
регулятивных универсальных учебных действий:
 составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с учѐтом
имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать
варианты решений с учѐтом новой информации.
У обучающегося будут сформированы умения самоконтроля как часть
регулятивных универсальных учебных действий:
 владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий
и мыслительных процессов, их результатов, владеть способами самопроверки,
самоконтроля процесса и результата решения математической задачи;
 предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить
коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, данных, найденных ошибок,
выявленных трудностей;
 оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины
достижения или недостижения результатов деятельности, находить ошибку, давать
оценку приобретѐнному опыту.
У обучающегося будут сформированы умения совместной деятельности:
 понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при
решении учебных задач, принимать цель совместной деятельности, планировать
организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать
процесс и результат работы, обобщать мнения нескольких людей;
 участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений, «мозговые
штурмы» и иные), выполнять свою часть работы и координировать свои действия с
другими членами команды, оценивать качество своего вклада в общий продукт по
критериям, сформулированным участниками взаимодействия.

ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
10 КЛАСС
К концу 10 класса обучающийся научится:
свободно оперировать понятиями: граф, плоский граф, связный граф, путь в графе,
цепь, цикл, дерево, степень вершины, дерево случайного эксперимента;
свободно оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт), случайное
событие, элементарное случайное событие (элементарный исход) случайного опыта,
находить вероятности событий в опытах с равновозможными элементарными событиями;
находить и формулировать события: пересечение, объединение данных событий,
событие, противоположное данному, использовать диаграммы Эйлера, координатную
прямую для решения задач, пользоваться формулой сложения вероятностей для
вероятностей двух и трех случайных событий;
оперировать понятиями: условная вероятность, умножение вероятностей,
независимые события, дерево случайного эксперимента, находить вероятности событий с
помощью правила умножения, дерева случайного опыта, использовать формулу полной
вероятности, формулу Байеса при решении задач, определять независимость событий по
формуле и по организации случайного эксперимента;
применять изученные комбинаторные формулы для перечисления элементов
множеств, элементарных событий случайного опыта, решения задач по теории
вероятностей;
свободно оперировать понятиями: бинарный случайный опыт (испытание), успех и
неудача, независимые испытания, серия испытаний, находить вероятности событий: в
серии испытаний до первого успеха, в серии испытаний Бернулли, в опыте, связанном со
случайным выбором из конечной совокупности;
свободно оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей,
диаграмма распределения, бинарная случайная геометрическое, биномиальное
распределение;
оперировать понятиями: совместное распределение двух случайных величин,
использовать таблицу совместного распределения двух случайных величин для выделения
распределения каждой величины, определения независимости случайных величин;
свободно оперировать понятием математического ожидания случайной величины
(распределения), применять свойства математического ожидания при решении задач,
вычислять математическое ожидание биномиального и геометрического распределений;
свободно оперировать понятиями: дисперсия, стандартное отклонение случайной
величины, применять свойства дисперсии случайной величины (распределения) при
решении задач, вычислять дисперсию и стандартное отклонение геометрического и
биномиального распределений.
11 КЛАСС
К концу 11 класса обучающийся научится:
вычислять выборочные характеристики по данной выборке и оценивать
характеристики генеральной совокупности данных по выборочным характеристикам.
Оценивать вероятности событий и проверять простейшие статистические гипотезы,
пользуясь изученными распределениями;
приводить примеры задач, приводящих к показательному распределению, задач,
приводящих к нормальному распределению. Оперировать понятиями: функция плотности
вероятности показательного распределения, функция плотности вероятности нормального
распределения, функция плотности и нормального распределения;
определять коэффициент линейной корреляции, выборочный коэффициент
корреляции.

В условиях перехода на обновленные ФГОС СОО и наличие содержания материала
в соответствующем УМК не в полном объеме предусмотрены альтернативные формы
домашнего задания, отличные от выполнения заданий из учебника (доклады, рефераты,
сообщения, карточки).
В соответствии с п.32.1 ФГОС ООО в данной рабочей программе учтена рабочая
программа воспитания ОУ.
В соответствии с п.32.1 ФГОС СОО в поурочном планировании размещены ссылки
на электронные (цифровые) образовательные ресурсы, для использования в обучении,
содержание которых соответствует законодательству об образовании (приказы
Минпросвещения России от 02.08.2022 №653, Минпросвещения России и Министерства
цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации № 717/ №
1073 от 15.10.2021): https://www.yaklass.ru/ https://resh.edu . ru/, https://skysmart.ru/

3.Тематическое планирование с указанием: количества академических часов, отводимых на освоение каждой темы,
использования по этой теме ЭОР или ЦОР, являющихся учебно-методическими материалами
воспитательного компонента
10 класс (34 ч)
№
п/п

Раздел

Тема

Кол-во
часов,
отводимых
на
освоение
темы

Виды деятельности

1.1

Раздел 1.
Элементы теории
графов
(3 ч)

Граф, связный граф,
представление
задачи с помощью
графа
Степень
(валентность)
вершины. Путь в
графе. Цепи и
циклы
Графы на
плоскости. Дерево
случайного
эксперимента
Случайные
эксперименты
(опыты) и
случайные события.
Элементарные
события (исходы)
Вероятность
случайного
события.
Вероятности

1

Представлять объекты и связи между
ними с помощью графа, находить пути
между вершинами графа.
Выделять в графе цепи и циклы.
Строить дерево по описанию
случайного опыта, описывать
случайные события в терминах дерева.
Решать задачи с помощью графов

1.2

1.3

2.1

2.2

Раздел 2.
Случайные
опыты,
случайные
события и
вероятности
событий
(3 ч)

1

2

Устный опрос,
письменный
контроль
Устный опрос,
письменный
контроль

Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы

Основные
направления
воспитательно
й деятельности
и
функционально
й грамотности

Финансовая
грамотность,
профориентац
ия

Устный опрос,
письменный
контроль

1

1

Контроль

Выделять и описывать случайные
события в случайном опыте.
Формулировать условия проведения
случайного опыта.
Находить вероятности событий в
опытах с равновозможными
элементарными исходами

Устный опрос,
письменный
контроль

Устный опрос,
письменный
контроль

Финансовая
грамотность,
профориентац
ия

3.1

3.2

Раздел 3.
Операции над
множествами и
событиями.
Сложение и
умножение
вероятностей.
Условная
вероятность.
Независимые
события
(5 ч)

3.3

3.4

4.1

4.2

4.3

4.4

Раздел 4.
Элементы
комбинаторики (4
ч)

событий в опытах с
равновозможными
элементарными
событиями
Пересечение,
объединение
множеств и
событий,
противоположные
события. Формула
сложения
вероятностей
Условная
вероятность.
Умножение
вероятностей.
Формула условной
вероятности
Формула полной
вероятности

1

2

Использовать диаграммы Эйлера и
вербальное описание событий при
выполнении операций над
событиями.
Оценивать изменение вероятностей
событий по мере наступления других
событий в случайном опыте.
Решать задачи, в том числе с
использованием дерева случайного
опыта, формул сложения и умножения
вероятностей

1

Формула Байеса.
Независимые
события
Комбинаторное
правило
умножения.
Перестановки и
факториал
Число сочетаний.
Треугольник
Паскаля
Формула бинома
Ньютона

1

Контрольная работа

1

1

1

1

Формулировать и доказывать
комбинаторные факты.
Использовать правило умножения,
изученные комбинаторные формулы
для перечисления элементов
различных множеств, в том числе
элементарных событий в случайном
опыте.
Пользоваться формулой и
треугольником Паскаля для
определения числа сочетаний.
Применять формулу бинома

Устный опрос,
письменный
контроль

Финансовая
грамотность,
профориентац
ия

Устный опрос,
письменный
контроль

Устный опрос,
письменный
контроль
Устный опрос,
письменный
контроль
Устный опрос,
письменный
контроль
Устный опрос,
письменный
контроль
Устный опрос,
письменный
контроль
Контрольная

Финансовая
грамотность,
профориентац
ия

5.1

Раздел 5. Серии
последовательных
испытаний.
Испытания
Бернулли.
Случайный выбор
из конечной
совокупности
(5 ч)

5.2

5.3

5.4

5.5

6.1

6.2

Раздел 6.
Случайные
величины и
распределения (14
ч)

№1: "Графы,
вероятности,
множества,
комбинаторика"
Бинарный
случайный опыт
(испытание), успех
и неудача.
Независимые
испытания. Серия
независимых
испытаний до
первого успеха
Серия независимых
испытаний до
первого успеха
Серия независимых
испытаний
Бернулли
Случайный выбор
из конечной
совокупности
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц
Случайная
величина.
Распределение
вероятностей.
Диаграмма
распределения
Операции над
случайными
величинами.

1

1

Ньютона для преобразования
выражений

работа

Разбивать сложные эксперименты
на отдельные испытания.
Решать задачи на поиск вероятностей
событий в серии испытаний до первого
успеха и в сериях испытаний
Бернулли, а также в опытах со
случайным выбором из конечной
совокупности с использованием
комбинаторных фактов и формул, в
том числе в ходе практической работы
с применением стандартных функций

Устный опрос,
письменный
контроль

Осваивать понятия: случайная
величина, распределение, таблица
распределения, диаграмма
распределения.
Находить значения суммы и
произведения случайных величин.
Строить бинарные распределения
по описанию событий в случайных
опытах.

Устный опрос,
письменный
контроль

1

1

1

1

1

Финансовая
грамотность,
профориентац
ия

Устный опрос,
письменный
контроль
Устный опрос,
письменный
контроль
Устный опрос,
письменный
контроль
Практическая
работа

Устный опрос,
письменный
контроль

Финансовая
грамотность,
профориентац
ия

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

Примеры
распределений.
Бинарная случайная
величина
Геометрическое
распределение.
Биномиальное
распределение
Математическое
ожидание
случайной
величины.
Совместное
распределение двух
случайных величин
Независимые
случайные
величины. Свойства
математического
ожидания.
Математическое
ожидание бинарной
случайной
величины
Математическое
ожидание
геометрического и
биномиального
распределений
Дисперсия и
стандартное
отклонение
Дисперсия
бинарной
случайной
величины. Свойства

1

1

1

Строить и распознавать
геометрическое и биномиальное
распределения.
Решать задачи на вычисление
математического ожидания.
Строить совместные распределения.
Изучать свойства математического
ожидания.
Решать задачи с помощью
изученных свойств.
По изученным формулам находить
математические ожидания случайных
величин, имеющих геометрическое и
биномиальное распределения
Осваивать понятия: дисперсия,
стандартное отклонение случайной
величины.
Находить дисперсию по
распределению.
Изучать свойства дисперсии.
По изученным формулам находить
дисперсию биномиального
распределения, в том числе в ходе
практической работы

Устный опрос,
письменный
контроль
Устный опрос,
письменный
контроль

Устный опрос,
письменный
контроль

1

Устный опрос,
письменный
контроль

1

Устный опрос,
письменный
контроль
Устный опрос,
письменный
контроль

1

дисперсии
Математическое
ожидание
произведения и
дисперсия суммы
независимых
случайных величин
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц
Дисперсия
биномиального
распределения.
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц
Обобщение и
систематизация
знаний
Контрольная работа
№2: "Испытания
Бернулли.
Случайные
величины и
распределения"

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

1

Устный опрос,
письменный
контроль

1

Практическая
работа

1

Практическая
работа

2

Устный опрос,
письменный
контроль
Контрольная
работа

1

11 класс (34ч)
№
п/п

Раздел

Тема

Кол-во
часов,
отводимых
на

Виды деятельности

Контроль

Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы

Основные
направления
воспитательно
й деятельности

освоение
темы
1.1

Раздел 1. Закон
больших чисел
(5 ч)

1.2

1.3

2.1

2.2

Раздел 2. Элементы
математической
статистики (6 ч)

Неравенство
Чебышева.
Теорема
Чебышева.
Теорема
Бернулли. Закон
больших чисел
Выборочный
метод
исследований
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц
Генеральная
совокупность и
случайная
выборка.
Знакомство с
выборочными
характеристиками.
Оценка среднего и
дисперсии
генеральной
совокупности с
помощью
выборочных
характеристик
Оценивание
вероятностей
событий по
выборке

3

и
функционально
й грамотности
Разбирать доказательства теорем.
Осваивать выборочный метод
исследований, в том числе в ходе
практической работы

1

1

Финансовая
грамотность,
профориентац
ия

Устный опрос,
письменный
контроль
Практическая
работа

1

2

Устный опрос,
письменный
контроль

Осваивать понятия: генеральная
совокупность, выборка, выборочное
среднее и выборочная дисперсия.
Вычислять выборочные
характеристики и на их основе
оценивать характеристики
генеральной совокупности.
Осваивать понятия: статистическая
гипотеза.
Оценивать вероятность событий и
проверять простейшие гипотезы на
основе выборочных данных, в том
числе в ходе практической работы

Устный опрос,
письменный
контроль

Устный опрос,
письменный
контроль

Финансовая
грамотность,
профориентац
ия

2.3

2.4

3.1

3.2

Раздел 3.
Непрерывные
случайные
величины
(распределения),
показательное и
нормальное
распределения (4 ч)

3.3

4.1

Раздел 4.
Распределение
Пуассона (2 ч)

Статистическая
гипотеза.
Проверка
простейших
гипотез с
помощью свойств
изученных
распределений
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц
Примеры
непрерывных
случайных
величин. Функция
плотности
вероятности
Равномерное
распределение.
Примеры задач,
приводящих к
показательному и
к нормальному
распределениям
Функция
плотности
вероятности
показательного
распределения
Последовательнос
ть одиночных
независимых
событий. Пример
задачи,

2

Устный опрос,
письменный
контроль

1

Практическая
работа

1

1

2

1

Знакомиться понятиями:
непрерывная случайная величина,
непрерывное распределение, функция
плотности вероятности.
Находить вероятности событий по
данной функции плотности.
Знакомиться с понятиями:
показательное распределение,
нормальное распределение.
Выделять по описанию случайные
величины, распределенные по
показательному закону, по
нормальному закону.
Разбирать примеры задач,
приводящих к показательному
распределению и к нормальному
распределению

Устный опрос,
письменный
контроль

Выделять по описанию случайного
опыта величины, распределенные по
закону Пуассона.
Решать задачи, в том числе в ходе
практической работы с применением

Устный опрос,
письменный
контроль

Финансовая
грамотность,
профориентац
ия

Устный опрос,
письменный
контроль

Устный опрос,
письменный
контроль

Финансовая
грамотность,
профориентац
ия

4.2

5.1

Раздел 5. Связь
между случайными
величинами (6 ч)

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

6.1

Раздел 6.
Обобщение и
систематизация
знаний (11 ч)

приводящей к
распределению
Пуассона
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц
Ковариация двух
случайных
величин.
Коэффициент
корреляции
Совместные
наблюдения двух
величин
Выборочный
коэффициент
корреляции
Различие между
линейной связью
и причинноследственной
связью
Линейная
регрессия
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц
Представление
данных с
помощью таблиц
и диаграмм,

стандартных функций электронных
таблиц
Практическая
работа

1

1

1

1

1

Осваивать понятия: ковариация,
коэффициент корреляции, линейная
зависимость.
Оценивать характер связи между
случайными величинами, исходя из
природы данных и вычисленных
характеристик.
Использовать диаграммы
рассеивания для изображения
совместного рассеивания данных.
Находить коэффициенты оси
диаграммы, в том числе в ходе
практической работы с применением
стандартных функций

Финансовая
грамотность,
профориентац
ия

Устный опрос,
письменный
контроль
Устный опрос,
письменный
контроль
Устный опрос,
письменный
контроль
Устный опрос,
письменный
контроль
Практическая
работа

1

1

1

Устный опрос,
письменный
контроль

Повторять изученное и выстраивать
систему знаний

Устный опрос,
письменный
контроль

Финансовая
грамотность,
профориентац

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

описательная
статистика
Опыты с
равновозможными
элементарными
событиями
Вычисление
вероятностей
событий с
применением
формул
Вычисление
вероятностей
событий с
применением
графических
методов:
координатная
прямая, дерево,
диаграмма Эйлера
Случайные
величины и
распределения
Математическое
ожидание
случайной
величины
Математическое
ожидание
случайной
величины
Контрольная
работа:
"Вероятность и
статистика"
Вычисление

ия
1

Устный опрос,
письменный
контроль

1

Устный опрос,
письменный
контроль

1

Устный опрос,
письменный
контроль

1

Устный опрос,
письменный
контроль
Устный опрос,
письменный
контроль

1

1

Устный опрос,
письменный
контроль

1

Контрольная
работа

1

Устный опрос,

вероятностей
событий с
применением
формул и
графических
методов
Вычисление
вероятностей
событий с
применением
формул и
графических
методов
Случайные
величины и
распределения.
Математическое
ожидание
случайной
величины

6.10

6.11

письменный
контроль

1

Устный опрос,
письменный
контроль

1

Устный опрос,
письменный
контроль

Поурочное планирование по учебному курсу «Вероятность и статистика. Углублѐнный уровень» в 10 классе
на 2025-2026 учебный год
(по ФГОС СОО)
1 час в неделю, всего 34 часа за учебный год
№
урока

1
2

Тема урока

Виды деятельности по формированию функциональной
грамотности

Раздел 1. Элементы теории графов (3 ч)
Граф, связный граф, представление задачи с
Представлять объекты и связи между ними с помощью
помощью графа
графа, находить пути между вершинами графа.
Выделять в графе цепи и циклы.
Степень (валентность) вершины. Путь в графе.

Элементы кодификатора
ГИА в формате ОГЭ и ЕГЭ

Цепи и циклы
Строить дерево по описанию случайного опыта,
описывать случайные события в терминах дерева.
Графы на плоскости. Дерево случайного
Решать задачи с помощью графов
эксперимента
Раздел 2. Случайные опыты, случайные события и вероятности событий (3 ч)
4
Случайные эксперименты (опыты) и
Выделять и описывать случайные события в случайном
случайные события. Элементарные события
опыте.
(исходы)
Формулировать условия проведения случайного опыта.
Находить вероятности событий в опытах с
5-6
Вероятность случайного события. Вероятности
6.3.1 Вероятности событий
равновозможными элементарными исходами
событий в опытах с равновозможными
элементарными событиями
Раздел 3. Операции над множествами и событиями. Сложение и умножение вероятностей. Условная вероятность. Независимые события (5 ч)
7
Пересечение, объединение множеств и
Использовать диаграммы Эйлера и вербальное описание
6.3.2 Примеры
событий, противоположные события. Формула
событий при выполнении операций над событиями.
использования вероятностей
сложения вероятностей
Оценивать изменение вероятностей событий по мере
и статистики при решении
наступления других событий в случайном опыте.
прикладных задач
Решать
задачи,
в
том
числе
с
использованием
дерева
8-9
Условная вероятность. Умножение
6.3.2 Примеры
случайного опыта, формул сложения и умножения
вероятностей. Формула условной вероятности
использования вероятностей
вероятностей
и статистики при решении
прикладных задач
10
Формула полной вероятности
6.3.2 Примеры
использования вероятностей
и статистики при решении
прикладных задач
11
Формула Байеса. Независимые события
6.3.2 Примеры
использования вероятностей
и статистики при решении
прикладных задач
Раздел 4. Элементы комбинаторики (4 ч)
12
Комбинаторное правило умножения.
Формулировать и доказывать комбинаторные факты.
6.1.2 Формулы числа
Перестановки и факториал
Использовать правило умножения, изученные
сочетаний и перестановок.
комбинаторные формулы для перечисления элементов
Бином Ньютона
различных множеств, в том числе элементарных событий
13
Число сочетаний. Треугольник Паскаля
6.1.2 Формулы числа
в случайном опыте.
сочетаний и перестановок.
Пользоваться формулой и треугольником Паскаля для
Бином Ньютона
определения числа сочетаний.
14
Формула бинома Ньютона
6.1.2 Формулы числа
3

Применять формулу бинома Ньютона для
преобразования выражений

15

16

17
18
19
20

21
22

23

24

25

сочетаний и перестановок.
Бином Ньютона
Контрольная работа №1: "Графы, вероятности,
6.3.1 Вероятности событий
множества, комбинаторика"
6.3.2 Примеры
использования вероятностей
и статистики при решении
прикладных задач
6.1.2 Формулы числа
сочетаний и перестановок.
Бином Ньютона
Раздел 5. Серии последовательных испытаний. Испытания Бернулли. Случайный выбор из конечной совокупности (5 ч)
Бинарный случайный опыт (испытание), успех
Разбивать сложные эксперименты на отдельные
и неудача. Независимые испытания. Серия
испытания.
независимых испытаний до первого успеха
Решать задачи на поиск вероятностей событий в серии
испытаний до первого успеха и в сериях испытаний
Серия независимых испытаний до первого
Бернулли, а также в опытах со случайным выбором из
успеха
конечной совокупности с использованием
Серия независимых испытаний Бернулли
комбинаторных фактов и формул, в том числе в ходе
Случайный выбор из конечной совокупности
практической работы с применением стандартных
Практическая работа с использованием
функций
электронных таблиц
Раздел 6. Случайные величины и распределения (14 ч)
Случайная величина. Распределение
Осваивать понятия: случайная величина, распределение,
вероятностей. Диаграмма распределения
таблица распределения, диаграмма распределения.
Находить значения суммы и произведения случайных
Операции над случайными величинами.
величин.
Примеры распределений. Бинарная случайная
Строить бинарные распределения по описанию событий
величина
в случайных опытах.
Геометрическое распределение. Биномиальное
6.1.2 Формулы числа
Строить и распознавать геометрическое и биномиальное
распределение
сочетаний и перестановок.
распределения.
Бином Ньютона
Решать задачи на вычисление математического
Математическое ожидание случайной
ожидания.
величины. Совместное распределение двух
Строить совместные распределения.
случайных величин
Изучать свойства математического ожидания.
Независимые случайные величины. Свойства
6.1.2 Формулы числа
Решать задачи с помощью изученных свойств.
математического ожидания. Математическое
сочетаний и перестановок.
По изученным формулам находить математические
ожидание бинарной случайной величины
Бином Ньютона

26
27

Математическое ожидание геометрического и
биномиального распределений
Дисперсия и стандартное отклонение

28

Дисперсия бинарной случайной величины.
Свойства дисперсии

29

Математическое ожидание произведения и
дисперсия суммы независимых случайных
величин
Практическая работа с использованием
электронных таблиц
Дисперсия биномиального распределения.
Практическая работа с использованием
электронных таблиц
Обобщение и систематизация знаний
Контрольная работа №2: "Испытания
Бернулли. Случайные величины и
распределения"

30
31

32-33
34

ожидания случайных величин, имеющих геометрическое
и биномиальное распределения
Осваивать понятия: дисперсия, стандартное отклонение
случайной величины.
Находить дисперсию по распределению.
Изучать свойства дисперсии.
По изученным формулам находить дисперсию
биномиального распределения, в том числе в ходе
практической работы

6.2.2 Числовые
характеристики рядов
данных
6.2.2 Числовые
характеристики рядов
данных

6.2.2 Числовые
характеристики рядов
данных

Поурочное планирование по учебному курсу «Вероятность и статистика. Углублѐнный уровень» в 11 классе
на 2025-2026 учебный год
(по ФГОС СОО)
1 час в неделю, всего 34 часа за учебный год
№
урока

1-3

Тема урока

Виды деятельности по формированию функциональной
грамотности

Раздел 1. Закон больших чисел (5 ч)
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
Разбирать доказательства теорем.
Теорема Бернулли. Закон больших чисел
Осваивать выборочный метод исследований, в том числе
в ходе практической работы

Элементы кодификатора
ГИА в формате ОГЭ и ЕГЭ

6.3.2 Примеры
использования вероятностей
и статистики при решении
прикладных задач

4

Выборочный метод исследований

5

Практическая работа с использованием
электронных таблиц

6-7

8
9-10

11

12
13

14
15

6.3.2 Примеры
использования вероятностей
и статистики при решении
прикладных задач
6.3.2 Примеры
использования вероятностей
и статистики при решении
прикладных задач

Раздел 2. Элементы математической статистики (6 ч)
Генеральная совокупность и случайная
Осваивать понятия: генеральная совокупность, выборка,
6.2.2 Числовые
выборка. Знакомство с выборочными
выборочное среднее и выборочная дисперсия.
характеристики рядов
характеристиками. Оценка среднего и
Вычислять выборочные характеристики и на их основе
данных
дисперсии генеральной совокупности с
оценивать характеристики генеральной совокупности.
помощью выборочных характеристик
Осваивать понятия: статистическая гипотеза.
Оценивать вероятность событий и проверять
Оценивание вероятностей событий по выборке
простейшие гипотезы на основе выборочных данных, в
Статистическая гипотеза. Проверка
том числе в ходе практической работы
простейших гипотез с помощью свойств
изученных распределений
Практическая работа с использованием
электронных таблиц
Раздел 3. Непрерывные случайные величины (распределения), показательное и нормальное распределения (4 ч)
Примеры непрерывных случайных величин.
Знакомиться понятиями: непрерывная случайная
Функция плотности вероятности
величина, непрерывное распределение, функция
плотности вероятности.
Равномерное распределение. Примеры задач,
Находить вероятности событий по данной функции
приводящих к показательному и к
плотности.
нормальному распределениям
Знакомиться с понятиями: показательное распределение,
Функция плотности вероятности
нормальное распределение.
показательного распределения
Выделять по описанию случайные величины,
Функция плотности вероятности нормального
распределенные по показательному закону, по
распределения
нормальному закону.
Разбирать примеры задач, приводящих к показательному

распределению и к нормальному распределению
16

17

18
19
20
21
22
23

24

25
26
27

Раздел 4. Распределение Пуассона (2 ч)
Последовательность одиночных независимых
Выделять по описанию случайного опыта величины,
событий. Пример задачи, приводящей к
распределенные по закону Пуассона.
распределению Пуассона
Решать задачи, в том числе в ходе практической работы с
применением стандартных функций электронных таблиц
Практическая работа с использованием
электронных таблиц
Раздел 5. Связь между случайными величинами (6 ч)
Ковариация двух случайных величин.
Осваивать понятия: ковариация, коэффициент
Коэффициент корреляции
корреляции, линейная зависимость.
Оценивать характер связи между случайными
Совместные наблюдения двух величин
величинами, исходя из природы данных и вычисленных
Выборочный коэффициент корреляции
характеристик.
Различие между линейной связью и причинноИспользовать диаграммы рассеивания для изображения
следственной связью
совместного рассеивания данных.
Линейная регрессия
Находить коэффициенты оси диаграммы, в том числе в
Практическая работа с использованием
ходе практической работы с применением стандартных
электронных таблиц
функций
Раздел 6. Обобщение и систематизация знаний (11 ч)
Представление данных с помощью таблиц и
Повторять изученное и выстраивать систему знаний
диаграмм, описательная статистика
Опыты с равновозможными элементарными
событиями
Вычисление вероятностей событий с
применением формул
Вычисление вероятностей событий с
применением графических методов:
координатная прямая, дерево, диаграмма
Эйлера

6.2.1 Табличное и
графическое представление
данных

6.3.1 Вероятности событий
6.3.1 Вероятности событий
6.3.2 Примеры
использования вероятностей
и статистики при решении
прикладных задач

28

29-30
31
32

Случайные величины и распределения

6.3.2 Примеры
использования вероятностей
и статистики при решении
прикладных задач

Математическое ожидание случайной
величины
Контрольная работа: "Вероятность и
статистика"
Вычисление вероятностей событий с
применением формул и графических методов

33

Вычисление вероятностей событий с
применением формул и графических методов

34

Случайные величины и распределения.
Математическое ожидание случайной
величины

6.3.1 Вероятности событий
6.3.2 Примеры
использования вероятностей
и статистики при решении
прикладных задач
6.3.1 Вероятности событий
6.3.2 Примеры
использования вероятностей
и статистики при решении
прикладных задач

Проверяемые требования к результатам освоения основной образовательной программы
10 класс
Код проверяемого
результата
6
6.1

Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной программы среднего общего образования
Теория вероятностей и статистика
Читать и строить таблицы и диаграммы

6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8

Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее, наименьшее значение, размах массива числовых данных
Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайное событие, элементарное событие (элементарный исход)
случайного опыта; находить вероятности в опытах с равновозможными случайными событиями, находить и сравнивать вероятности
событий в изученных случайных экспериментах
Находить и формулировать события: пересечение и объединение данных событий, событие, противоположное данному событию;
пользоваться диаграммами Эйлера и формулой сложения вероятностей при решении задач
Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события; находить вероятности с помощью правила умножения, с
помощью дерева случайного опыта
Применять комбинаторное правило умножения при решении задач
Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия испытаний, успех и неудача; находить вероятности событий в
серии независимых испытаний до первого успеха, находить вероятности событий в серии испытаний Бернулли
Оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, диаграмма распределения

11 класс
Код проверяемого
результата
5
5.1
5.2
5.3
5.4

Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной программы среднего общего образования
Теория вероятностей и статистика
Сравнивать вероятности значений случайной величиныпо распределению или с помощью диаграмм
Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры того, как применяется математическое ожидание случайной
величины, находить математическое ожидание по данному распределению
Иметь представление о законе больших чисел
Иметь представление о нормальном распределении

Проверяемые элементы содержания
10 класс
Код
6
6.1

Проверяемый элемент содержания
Теория вероятностей и статистика
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах,
дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов

6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7

Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные события (исходы). Вероятность случайного события. Близость
частотыи вероятности событий. Случайные опыты с равновозможными элементарными событиями. Вероятности событий в опытахс
равновозможными элементарными событиями
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события. Диаграммы Эйлера. Формула сложения
вероятностей
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного эксперимента. Формула полной вероятности. Независимые
события
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал. Число сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые испытания. Серия независимых испытаний до первого успеха.
Серия независимых испытаний Бернулли
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения. Примеры распределений, в том числе геометрическоеи
биномиальное

11 класс
Код
5
5.1
5.2
5.3

Проверяемый элемент содержания
Теория вероятностей и статистика
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение. Примеры применения
математического ожидания, в том числе в задачах из повседневной жизни. Математическое ожидание бинарной случайной величины.
Математическое ожидание суммы случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия геометрического и биномиального
распределений
Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе. Выборочный метод исследований
Примеры непрерывных случайных величин. Понятие о плотности распределения. Задачи, приводящие к нормальному распределению.
Понятие о нормальном распределении

Проверяемые на ЕГЭ по математике требования к результатам освоения основной образовательной программы среднего
общего образования
Код проверяемого
требования
1

Проверяемые требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы среднего общего
образования
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач; умение формулировать и оперировать понятиями: определение,
аксиома, теорема, следствие, свойство, признак, доказательство, равносильные формулировки; применять их; умение формулировать

2

3

4

5

обратное и противоположное утверждение, приводить примеры и контрпримеры, использовать метод математической индукции;
проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений; умение оперировать
понятиями: множество, подмножество, операции над множествами; умение использовать теоретико-множественный аппарат для
описания реальных процессов и явлений и при решении задач, в том числе из других учебных предметов; умение оперировать
понятиями: граф, связный граф, дерево, цикл, граф на плоскости; умение задавать и описывать графы различными способами;
использовать графы при решении задач
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число, степень с целым показателем, корень натуральной степени, степень с
рациональным показателем, степень с действительным показателем, логарифм числа, синус, косинус и тангенс произвольного числа,
остаток по модулю, рациональное число, иррациональное число, множества натуральных, целых, рациональных, действительных
чисел; умение использовать признаки делимости, наименьший общий делитель и наименьшее общее кратное, алгоритм Евклида при
решении задач; знакомство с различными позиционными системами счисления; умение выполнять вычисление значений и
преобразования выражений со степенями и логарифмами, преобразования дробно-рациональных выражений; умение оперировать
понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия; умение задавать последовательности, в том числе с помощью рекуррентных формул; умение оперировать понятиями:
комплексное число, сопряжѐнные комплексные числа, модуль и аргумент комплексного числа, форма записи комплексных чисел
(геометрическая, тригонометрическая и алгебраическая); уметь производить арифметические действия с комплексными числами;
приводить примеры использования комплексных чисел; оперировать понятиями: матрица 2×2 и 3×3, определитель матрицы,
геометрический смысл определителя
Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные, показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические
уравнения и неравенства, их системы; умение оперировать понятиями: тождество, тождественное преобразование, уравнение,
неравенство, система уравнений и неравенств, равносильность уравнений, неравенств и систем; умение решать уравнения, неравенства
и системы с помощью различных приѐмов; решать уравнения, неравенства и системы с параметром; применять уравнения,
неравенства, их системы для решения математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
Умение оперировать понятиями: функция, чѐтность функции, периодичность функции, ограниченность функции, монотонность
функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты
графика функции, первая и вторая производная функции, геометрический и физический смысл производной, первообразная,
определѐнный интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение вычислять производные суммы, произведения,
частного и композиции функций, находить уравнение касательной к графику функции; умение находить производные элементарных
функций; умение использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций;
строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа; применять производную для нахождения
наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических и физических задачах; находить площади и объѐмы фигур с
помощью интеграла; приводить примеры математического моделирования с помощью дифференциальных уравнений
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функция, композиция функций, линейная функция, квадратичная функция,
рациональная функция, степенная функция, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, показательная и
логарифмическая функции; умение строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков функций, использовать

6

7

8

9

10

графики для изучения процессов и зависимостей, при решении задач из других учебных предметов и задач из реальной жизни;
выражать формулами зависимости между величинами; использовать свойства и графики функций для решения уравнений, неравенств
и задач с параметрами; изображать на координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств и их систем
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на проценты, доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и
услуг, налоги, задачи из области управления личными и семейными финансами); составлять выражения, уравнения, неравенства и их
системы по условию задачи, исследовать полученное решение и оценивать правдоподобность результатов; умение моделировать
реальные ситуации на языке математики; составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать
построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия,
стандартное отклонение числового набора; умение извлекать, интерпретировать информацию, представленную в таблицах, на
диаграммах, графиках, отражающую свойства реальных процессов и явлений; представлять информацию с помощью таблиц и
диаграмм; исследовать статистические данные, в том числе с применением графических методов и электронных средств; графически
исследовать совместные наблюдения с помощью диаграмм рассеивания и линейной регрессии
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное событие, вероятность случайного события; умение вычислять
вероятность с использованием графических методов; применять формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной
вероятности, формулу Бернулли, комбинаторные факты и формулы; оценивать вероятности реальных событий; умение оперировать
понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение
случайной величины, функции распределения и плотности равномерного, показательного и нормального распределений; умение
использовать свойства изученных распределений для решения задач; знакомство с понятиями: закон больших чисел, методы
выборочных исследований; умение приводить примеры проявления закона больших чисел в природных и общественных явлениях;
умение оперировать понятиями: сочетание, перестановка, число сочетаний, число перестановок; бином Ньютона; умение применять
комбинаторные факты и рассуждения для решения задач; оценивать вероятности реальных событий; составлять вероятностную модель
и интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, пространство, отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный угол,
трѐхгранный угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямыми, угол
между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми, расстояние
между плоскостями; умение использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии; умение оценивать размеры
объектов окружающего мира; строить математические модели с помощью геометрических понятий и величин, решать связанные с
ними практические задачи
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объѐм фигуры, многогранник, правильный многогранник, сечение многогранника,
куб, параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность вращения, цилиндр, конус, шар, сфера, площадь сферы, площадь
поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объѐм куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра,
конуса, шара, развѐртка поверхности, сечения конуса и цилиндра, параллельные оси или основанию, сечение шара, плоскость,
касающаяся сферы, цилиндра, конуса; умение строить сечение многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности
вращения, их сечения, в том числе с помощью электронных средств; умение применять свойства геометрических фигур,

11

12

13

самостоятельно формулировать определения изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о свойствах и признаках геометрических фигур,
обосновывать или опровергать их; умение проводить классификацию фигур по различным признакам, выполнять необходимые
дополнительные построения
Умение оперировать понятиями: движение в пространстве, параллельный перенос, симметрия на плоскости и в пространстве, поворот,
преобразование подобия, подобные фигуры; умение распознавать равные и подобные фигуры, в том числе в природе, искусстве,
архитектуре; использовать геометрические отношения при решении задач; находить геометрические величины (длина, угол, площадь,
объѐм) при решении задач из других учебных предметов и из реальной жизни; умение вычислять геометрические величины (длина,
угол, площадь, объѐм, площадь поверхности), используя изученные формулы и методы, в том числе: площадь поверхности пирамиды,
призмы, конуса, цилиндра, площадь сферы; объѐм куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара;
умение находить отношение объѐмов подобных фигур
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат, вектор, координаты точки, координаты вектора, сумма векторов,
произведение вектора на число, разложение вектора по базису, скалярное произведение, векторное произведение, угол между
векторами; умение использовать векторный и координатный метод для решения геометрических задач и задач других учебных
предметов
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи; понимание значимости математики в изучении природных и общественных
процессов и явлений; умение распознавать проявление законов математики в искусстве, умение приводить примеры математических
открытий российской и мировой математической науки

Перечень элементов содержания, проверяемых на ЕГЭ по математике
Код
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8

Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
Действительные числа. Арифметические операции с действительными числами. Приближѐнные вычисления, правила округления,
прикидка и оценка результата вычислений
Преобразование выражений

1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
4
4.1
4.2
4.3
5

Комплексные числа
Уравнения и неравенства
Целые и дробно-рациональные уравнения
Иррациональные уравнения
Тригонометрические уравнения
Показательные и логарифмические уравнения
Целые и дробно-рациональные неравенства
Иррациональные неравенства
Показательные и логарифмические неравенства
Тригонометрические неравенства
Системы и совокупности уравнений и неравенств
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные функции. Чѐтные и нечѐтные функции. Периодические
функции
Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности
функции. Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Еѐ свойства и график. Свойства и график корня n-ой степени
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Последовательности, способы задания последовательностей
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
Начала математического анализа
Производная функции. Производные элементарных функций
Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке
Первообразная. Интеграл
Множества и логика

5.1
5.2
6
6.1
6.2
6.3
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5

Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна
Логика
Вероятность и статистика
Описательная статистика
Вероятность
Комбинаторика
Геометрия
Фигуры на плоскости
Прямые и плоскости в пространстве
Многогранники
Тела и поверхности вращения
Координаты и векторы